Le operazioni con i numeri naturali

  • Addizione
  • Sottrazione
  • Moltiplicazione
  • Divisione
  • Espressioni con le 4 operazioni
  • Tecniche per eseguire le moltiplicazioni: moltiplicazione egizia, moltiplicazione cinese e moltiplicazione araba
Esercizi

Addizione

E' l'operazione che associa a due numeri naturali (ADDENDI), un terzo numero (SOMMA), che si ottiene contando successivamente al primo tante unità quante sono quelle del secondo.

Proprietà dell'addizione

Commutativa

Cambiando l'ordine degli addendi la somma non cambia.
ESEMPI:
34 + 15 = 49
15 + 34 = 49
quindi:
34 + 15 = 15 + 34

15 + 7 + 5 = 27
15 + 5 + 7 = 27
5 + 15 + 7 = 27
...
quindi:
15 + 7 + 5 = 15 + 5 + 7 = 5 + 15 + 7

Associativa

La somma non cambia se a due o più di essi si sostituisce la loro somma.
ESEMPI:
25 + 15 + 7 = 40 + 7 = 47
13 + 19 + 1 = 13 + 20 = 33

La proprietà associativa applicata al contrario, è chiamata DISSOCIATIVA.
ESEMPIO:
28 + 12 = 20 + 8 + 12 = 40

Sottrazione

E' l'operazione che associa a due numeri naturali (MINUENDO e SOTTRAENDO), un terzo numero (DIFFERENZA), che addizionato al sottraendo dà come risultato il minuendo.

Proprietà della sottrazione


Invariantiva

La differenza tra due numeri non cambia se al minuendo e al sottraendo aggiungo o sottraggo uno stesso numero.
ESEMPI:
15 - 7 = 8
(15 - 5) - (7 - 5) = 10 - 2 = 8

28 - 11 = 17
(28 + 9) - (11 + 9) = 37 - 20 = 17

Moltiplicazione

E' l'operazione che associa a due numeri (FATTORI), un terzo numero (PRODOTTO), che si ottiene addizionando tanti addendi uguali al primo numero quante sono le unità del secondo.

Proprietà della moltiplicazione


Commutativa

Cambiando l'ordine dei fattori, il prodotto non cambia.
ESEMPIO:
12 x 5 = 60
5 x 12 = 60

Associativa

Il prodotto non cambia se a due o più fattori si sostituisce il loro prodotto.
ESEMPI:
2 x 5 x 7 = 2 x 35 = 70
3 x 6 x 10 = 18 x 10 = 180

Distributiva

Considero un numero moltiplicato per una somma (o una differenza). Posso risolverlo in questo modo. 
5 x (3 + 5) = 5 x 8 = 40

Oppure per la PROPRIETA' DISTRIBUTIVA posso moltiplicare il numero 5 per ciascuno dei termini dell'addizione e sommare i prodotti ottenuti.

5 x (3 + 5) = 5 x 3 + 5 x 5 = 15 + 25 = 40
Altro esempio:
(9 - 4) x 3 = 9 x 3 - 4 x 3 = 27 - 12 = 15

Divisione

E' l'operazione che associa a due numeri (DIVIDENDO e SOTTRAENDO), un terzo numero (QUOZIENTE), che moltiplicato per il divisore dà come risultato il dividendo.

Proprietà della divisione


Invariantiva

Il quoziente tra due numeri non cambia se il dividendo e il divisore vengono moltiplicati o divisi per uno stesso numero (diverso da zero).
ESEMPI:

  • 18 : 3 = 6

Applico la proprietà:
(18 x 2) : (3 x 2) = 36 : 6 = 6

  • 24 : 12 = 2

(24 : 2) : (12 : 2) = 12 : 6 = 2

Distributiva a destra 

Considero una somma o una differenza divisa per un numero (diverso da zero). Posso risolvere in questo modo l'espressione.
 

(18 + 9) : 3 = 27 : 3 = 9


Oppure applicando la PROPRIETA' DISTRIBUTIVA, divido ogni termine della somma per il numero 3 e sommo i quozienti ottenuti.
(18 + 9) : 3 = 18 : 3 + 9 : 3 = 6 + 3 = 9
Altro esempio:
(45 - 15) : 5 = 45 : 5 - 15 : 5 = 9 - 3 = 6

NON POSSO APPLICARE LA PROPRIETA' se la somma o la differenza si trova al posto del divisore. Non ottengo lo stesso risultato.
36 : (1 + 5) = 36 : 6 = 6
36 : (1 + 5) = 36 : 1 + 36 : 5 = 36 + 7,2 = 43,2 

Divisioni particolari

0 : 0                  Divisione indeterminata, perché qualsiasi numero moltiplicato per 0 mi dà                                come prodotto zero.
0 : 5 = 0           Perché 0 x 5 = 0
7 : 0                  Divisione impossibile, perché non esiste alcun numero che moltiplicato per                             0 dà come prodotto 7. 
15 : 15 = 1       Dividendo e divisore sono uguali.
17 : 1 = 17       Il divisore è uguale a 1, allora il quoziente è uguale al dividendo. 




Divisione tra un numero naturale e un numero decimale.

154       : 3,2                        Applico la proprietà invariantiva. Moltiplico per 10 il dividendo e il                                               divisore: (154 x 10) : (3,2 x 10) = 1540 : 32
1540              : 32                Il 32 nel 154 ci sta 4 volte: 32 x 4 = 128  
128                 _________     154 - 128 = 26    
 _____              48,125         Il 32 nel 260 ci sta 8 volte. Infatti: 32 x 8 = 256
   260                                    260 - 256 = 4
   256                                     Aggiungo la virgola al quoziente.
 ______                                   Aggiungo uno zero al resto e ottengo 40. Il 32 nel 40 ci sta                      40                                  una volta.
        32                                   

    ______                                40 - 32 = 8  
           80                                

           64                              Aggiungo uno zero al resto e ottengo 80. Il 32 nell'80 ci sta 2                  _______                         volte.  
           160                            80 - 64 = 16
           160                            Aggiungo uno zero al resto e ottengo 160. Il 32 nel 160 ci sta 5              ________                       volte con resto 0.
                0
      
1540 : 32 = 48,125 
Prova: 48,125 x 32 = 1540




Espressioni con le 4 operazioni


In assenza di parentesi

Si eseguono prima le moltiplicazioni e le divisioni in ordine di scrittura, poi addizione e sottrazioni nell'ordine in cui sono scritte.

Esempio:
45 - 12 : 2 : 3 - 7 - 45 : 9  + 5 =
45 - 6 : 3 - 7 - 5 + 5 =
45 - 2 - 7 - 5 + 5 =
43 - 7 - 5 + 5 =
36 - 5 + 5 =
31 + 5 =
36




In presenta di parentesi

Si eseguono prime le operazioni all'interno delle parentesi tonde, poi quella tra le parentesi quadre e infine quelle tra le parentesi graffe. 
L'ordine delle operazioni rimane lo stesso:

  • moltiplicazioni e divisioni nell'ordine scritto
  • addizioni e sottrazioni nell'ordine scritto


Esempio:
{[(26 + 5) x 2] - [(55 : 11) + 10]} =
{[31 x 2] - [5 + 10]} =
{62 - 15} =
47

Tecniche per eseguire le moltiplicazioni

Moltiplicazione egizia
Moltiplicazione cinese
Moltiplicazione araba