Gli insiemi Esercizi
Un insieme è un gruppo di oggetti di diversa natura (chiamati elementi) che presentano una caratteristica comune in base ad un criterio oggettivo. E' in base a questo è possibile dire con certezza se un elemento appartiene o non appartiene all'insieme considerato.
SONO INSIEMI:
L'insieme dei mesi dell'anno.
L'insieme delle lettere dell'alfabeto italiano.
Io posso dire con certezza quali sono gli elementi presenti in ogni insieme.
NON SONO INSIEMI:
L'insieme delle montagne più alte dell'Italia.
L'insieme dei luoghi di vacanza più belli al mondo.
Questi non sono insiemi oggettivi ma soggettivi.
Un insieme si indica con una lettera maiuscola.
Un elemento si indica con una lettera minuscola.
Simboli
∈
∉
Esempio:
Chiamiamo A l'insieme delle lettere della parola cane, posso dire che:
c ∈ A (l'elemento c appartiene all'insieme A)
t ∉ A (l'elemento t non appartiene all'insieme A)
Tipi di insiemi
- Finito = se l'insieme contiene un numero finito di elementi.
Esempio: l'insieme dei giorni della settimana.
- Infinito = se l'insieme contiene un numero infinito di elementi.
Esempio: l'insieme dei numeri naturali.
- Vuoto = se l'insieme non contiene alcun elemento. L'insieme vuoto si indica:
∅ oppure { }
Esempio: i giorni della settimana nella lingua italiana che iniziano con la lettera t.
Rappresentazione di un insieme
- Per elencazione
- si elencano gli elementi, senza ripetizioni, separati da un punto e virgola. Si scrivono tra parentesi graffa.
- se l'insieme contiene infiniti elementi, dopo l'ultimo elemento si scrivono 3 punti.
Esempio: insieme dei numeri naturali. A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6;...}
- Per caratteristica
- individuo una proprietà valida per tutti gli elementi dell'insieme.
- si utilizza da scrittura A = { x | x è una stagione dell'anno}
- si legge "A è l'insieme delle x tale che x è una stagione dell'anno".
- Grafica con i diagrammi di Eulero-Venn
- si disegna una linea chiusa semplice
- scrivo gli elementi all'interno
- ogni elemento è preceduto da un punto
- se l'insieme contiene infiniti elementi si scrivono dei puntini in più all'interno dell'insieme
Sottoinsieme
Un insieme C è sottoinsieme di B se ogni elemento di C è anche un elemento di B.
Si dice che C è contenuto in B. Simbologia:
C ⊂ B
Se non è contenuto si usa lo stesso simbolo ma con una barra obliqua sopra.
L'insieme B ha due sottoinsiemi impropri: l'insieme vuoto e l'insieme B stesso.
Tutti gli altri sono chiamati sottoinsiemi propri.
Operazioni con gli insiemi
Paola e Giulia hanno in comune la passione per i viaggi in Europa.
- Paola ha visitato la Francia, l'Italia, la Germania e il Portogallo.
- Giulia ha visitato il Belgio, la Spagna, l'Italia e il Portogallo.
In quali stati europei si sono recate entrambe?
La risposta è semplice:
Italia e Portogallo.
Come si rappresenta con il linguaggio degli insiemi?
Si parla in questo caso di INTERSEZIONE.
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Intersezione tra due insiemi
A = {Francia; Italia, Germania; Portogallo}
B = {Belgio; Spagna; Italia; Portogallo}
Individua gli elementi in comune.
Ottengo l’insieme intersezione e si indica:
A ∩ B = {Italia; Portogallo}
Si legge A intersecato B o A intersezione di B.
L'immagine seguente mostra la rappresentazione grafica.
Unione tra due insiemi
Ritornando all'esempio di Paola e Giulia, posso rappresentare anche l'unione dei paesi che hanno visitato.
In questo caso ottengo l'insieme unione e si indica in questo modo:
A ∪ B = {Francia; Italia, Germania; Portogallo; Belgio; Spagna}
Si legge A unito B oppure A unione di B.
Di seguito la rappresentazione grafica.
Insiemi disgiunti
Considero gli insiemi:
A = {p; a; l}
B = {o; c; h; i}
I due insiemi non hanno alcun elemento in comune e si dicono DISGIUNTI.
La loro intersezione è uguale all'insieme vuoto:
A ∩ B = ∅
La loro unione è uguale a:
A U B = {p; a; l; o; c; h; i}