Multiplo
Un multiplo di un numero naturale si ottiene moltiplicando quel numero per un numero naturale qualsiasi.
5 x 0 = 0 5 x 1 = 5 5 x 2 = 10 5 x 3 = 15 5 x 4 = 20 5 x 5 = 25
0, 5, 10, 15, 20, 25 sono tutti multipli di 5.
L'insieme dei multipli di un numero naturale, tranne lo zero, è infinito.
Divisore
Un numero naturale b (diverso da zero) è divisore di un numero naturale a se la divisione a : b dà come resto 0.
In questo caso a è multiplo di b e b è divisore di a.
12 : 1 = 12 12 : 2 = 6 12 : 3 = 4 12 :5 = 2,4 12 : 6 = 2 12 : 7 = 1,71... ...... 12 : 12 = 1
- 1, 2, 3, 4, 6, 12 sono tutti divisori di 12.
- 12 è divisibile per 1, 2, 3, 4, 6, 12.
- 12 è multiplo di 1, 2, 3, 4, 6, 12.
L'insieme dei divisori di un numero naturale, eccetto lo zero, è finito.
Numeri primi e numeri composti
"Un numero naturale si dice PRIMO se è divisibile solo per 1 e per se stesso."
I numeri primi sono INFINITI.
L'unico numero primo pari è il 2.
I numeri primi maggiori di 10 terminano con le cifre 1, 3, 7, 9.
Esempio: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...
"Un numero naturale si dice COMPOSTO se, oltre 1 e se stesso, ha altri divisori."
Esempio: 24 Divisori: 1, 24 ma anche 2, 3, 4, 6, 8, 12
Scomposizione in fattori primi
Ogni numero composto può essere scritto come prodotto di numeri primi, si parla di fattorizzazione o scomposizione in fattori primi.
La scomposizione è unica.
Criterio generale di divisibilità
Consideriamo i numeri 192 e 24.
Vogliamo stabilire se 192 è divisibile per 24.
Scompongo i due numeri.
Ogni fattore della scomposizione del 24 compare in quella del 192 (2 e 3).
Gli esponenti dei fattori del 24 sono minori o uguali degli esponenti dei fattori del 192.
Un numero a é divisibile per un numero b se ogni fattore di b è anche fattore di a e se gli esponenti dei fattori di b sono minori o uguali degli esponenti dei fattori di a.
Il M.C.D. (Massimo Comune Divisore)
E' il massimo divisore comune tra due o più numeri.
D 18 = {1, 2, 6, 9, 18}
D 27 = {1, 3, 9, 27}
Il M.C.D. tra 18 e 27 è 9.
- Se due numeri hanno in comune come divisore solo 1 allora si dicono PRIMI FRA LORO e il M.C.D. è 1.
D 12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
D 35 = {5, 7}
12 e 35 hanno come divisore comune solo 1.
- Dati due numeri a e b con a multiplo di b, b è il M.C.D.
D 15 = {1, 3, 5, 15}
D 30 = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}
Il M.C.D. tra 15 e 30 è 15 cioè b.
Calcolo del M.C.D. con la scomposizione in fattori primi
Considero 18 e 24, scompongo entrambi in fattori primi.
